Необходимо найти параметры окружности, при движении по которой Fg компенсирует Fц.
Проведем численный расчет скорости её вращения, исходя из следующих предположений:
- Центральное светило в данной системе - Солнце.
- Радиус сферы возьмем равным радиусу земной орбиты, что бы получить интенсивность солнечной радиации близкой к той, которую получает земная атмосфера.
Исходя из известной массы Солнца и радиуса, период обращения получается следующим образом:
Как и предполагалось, t (период обращения) оказался равен обычному (не астрономическому) году ( 365 дней * 24 часа * 3600 секунд = 31536000 секунд). Есть небольшая погрешность, так как радиус земной орбиты мы взяли округленно.
На рисунке это будет выглядеть примерно так (модель сферы дана с сечением, что бы показать внутреннее пространство):
Шаг 2. Компенсация притяжения
В решении на шаге 1 можно заметить важное противоречие. Центробежная сила полностью компенсирует силу тяжести только на экваторе вращающейся сферы. Ближе к полюсам центробежное ускорение начинает спадать, на полюсах принимая значение 0. В результате, если мы построим сооружение в виде сферы, то нас ждет катастрофа - полюса будут притянуты к Солнцу, и сфера неминуемо разрушиться (если, конечно, мы не сделаем сферу абсолютно жесткой, но таких материалов, к сожалению, мы не знаем).
Сценарий катастрофы
Как следует из формулы 2 шага 1 (формула центробежного ускорения), ускорение обратно пропорционально радиусу - вдвое уменьшив радиус, мы вдвое снижаем и ускорение. С эти эффектом знаком каждый, кто водит машину либо наблюдал велогонщиков на треке. На полюсах вращающейся сферы радиус равен 0. Соответственно, 0 равно и ускорение. Ничто не компенсирует притяжение звезды, расстояние до которой (а следовательно, и притяжение) на полюсах сферы точно такое-же, как на её экваторе. Сфера начинает сжиматься с полюсов к звезде, тем быстрее, чем больше её поверхность приближается к центру. Результат - неминуемое разрушение конструкции.
Задача
Задача: Рассчитать форму поверхности, вращение которой с периодом t обеспечивает компенсацию притяжения центральной звезды центробежной силой в каждой точке поверхности.
Решение:
Частично решение уже известно. В результате должно получиться тело вращения, экватор которого (центральное кольцо) совпадает с экватором сферы. Далее - чуть сложнее.
Проведем пробный расчет на примере одной точки на поверхности данного тела, отстоящей на некотором расстоянии x от экваториальной плоскости. О данной точке нам известно следующее:
- Точка вращается вокруг оси вращения вместе со всем телом. Период её обращения равен, соответственно, t.
- В данной точке центробежное ускорение равно ускорению свободного падения.
Построим чертеж:
На данном чертеже точка 1 лежит на экваториальном кольце, точка 2 - искомая, отстоящая от экваториальной плоскости на расстояние x. Расстояние от точки 2 до центра обозначим Rx. Соответственно, расстояние от точки 2 до центра по второй оси обозначим Rzx.
Образовался прямоугольный треугольник. Следовательно, зная первоначально заданное значение x, можно выразить искомое Rzx по теореме Пифагора:
Подставив данное выражение в формулы (2) и (3) шага 1, получаем кубическое уравнение, выражающее Rzx через заданное x :
Для проверки подставим значение x=0. Решение дает 149600000000, т.е. найденный в шаге 1 радиус. Все верно.
Найдем несколько точек и построим график. Первый столбец - x, второй - Rzx.
Данный график и будет искомой поверхностью для левой нижней четверти.
Однако, наш расчет слишком громоздок - ведь мы использовали численные методы. Необходимо найти более изящное решение.
13/01/2009
